已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left(a>b>0\right)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3 }{2}$，过右焦点 $F$ 且斜率为 $k\left(k>0\right)$ 的直线与 $C$ 相交于 $A$、$B$ 两点．若 $\overrightarrow {AF} = 3\overrightarrow {FB} $，则 $k = $ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
设 $ A\left(x_{1},y_{1}\right),B\left(x_{2},y_{2}\right) $，由于 $\overrightarrow {AF} =3 \overrightarrow {FB} $，则有\[ y_{1}=-3y_{2} .\]由 $e=\dfrac{\sqrt 3 }{2}$，可设 $ a=2t,c=\sqrt 3 t ,b=t$，代入椭圆方程整理得\[ x^2+4y^2-4t^2=0. \]而直线 $ AB $ 的方程为 $ x=sy+\sqrt 3 t $（$s=\dfrac 1k$），代入 $ x^2+4y^2-4t^2=0 $，消去 $ x $ 并整理得\[ \left(s^2+4\right)y^2+2 \sqrt 3 tsy-t^2=0, \]那么\[ y_{1}+y_{2}=- \dfrac{2\sqrt 3 ts}{{{s^2} + 4}} , y_{1}y_{2}=- \dfrac{t^2}{{{s^2} + 4}}. \]把 $ y_{1}=-3y_{2} $ 代入得\[ -2y_{2}=- \dfrac{2\sqrt 3 ts}{{{s^2} + 4}} , -3y_{2}^2=- \dfrac{t^2}{{{s^2} + 4}} , \]消去 $y_2 $，解得 $s=\dfrac{\sqrt 2 }{2}$，从而 $k=\sqrt 2 $．
题目
答案
解析
备注
