对任意 $2$ 个 $1,2,3,4,5,6$ 的全排列 $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)$ 和 $(b_1,b_2,b_3,b_4,b_5,b_6)$，$S=\displaystyle \sum_{i=1}^6ia_ib_i$ 的值可以是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT附加学科测试数学部分（二测）
【标注】
【答案】
BCD
【解析】
考虑到\[\sum_{i=1}^6i^3=\left(\sum_{i=1}^6i\right)^2=441,\]于是选项 D 正确．
由平均值不等式可得\[S\geqslant 6\sqrt[6]{\prod_{i=1}^6ia_ib_i}=6\sqrt[6]{(6!)^3}=72\sqrt 5=160.9\cdots,\]均值位置为 $12\sqrt 5$，约为 $27$．接下来使得每组乘积接近 $27$，有\[\begin{array}{ccc|c}\hline
1&5&6&30\\ \hline
2&4&4&32\\ \hline
3&3&3&27\\ \hline
4&6&1&24\\ \hline
5&1&5&25\\ \hline
6&2&2&24\\ \hline
&&&162\\ \hline
\end{array}\]接下来考虑到 $27$ 附近可能的数为\[\cdots,15,16,18,20,24,25,27,30,32,36,40,45,48,\cdots,\]调整为\[\begin{array}{ccc|c}\hline
1&4&6&24\\ \hline
2&3&4&24\\ \hline
3&5&1&15\\ \hline
4&6&2&48\\ \hline
5&1&5&25\\ \hline
6&2&3&36\\ \hline
&&&172\\ \hline
\end{array}\]因此选项 BCD 正确．接下来考虑选项 A．设 $S=161$ 且 $ia_ib_i$（$i=1,2,\cdots,6$）中的最大值为 $x$，由 $27$ 最多有 $1$ 个，因此容易证明 $x\geqslant 30$，而\[161\geqslant x+5\sqrt[5]{\dfrac{(6!)^3}{x}}\geqslant 30+60\sqrt[5]{50},\]矛盾．最后一步不等式由函数的单调性得到．
由平均值不等式可得\[S\geqslant 6\sqrt[6]{\prod_{i=1}^6ia_ib_i}=6\sqrt[6]{(6!)^3}=72\sqrt 5=160.9\cdots,\]均值位置为 $12\sqrt 5$，约为 $27$．接下来使得每组乘积接近 $27$，有\[\begin{array}{ccc|c}\hline
1&5&6&30\\ \hline
2&4&4&32\\ \hline
3&3&3&27\\ \hline
4&6&1&24\\ \hline
5&1&5&25\\ \hline
6&2&2&24\\ \hline
&&&162\\ \hline
\end{array}\]接下来考虑到 $27$ 附近可能的数为\[\cdots,15,16,18,20,24,25,27,30,32,36,40,45,48,\cdots,\]调整为\[\begin{array}{ccc|c}\hline
1&4&6&24\\ \hline
2&3&4&24\\ \hline
3&5&1&15\\ \hline
4&6&2&48\\ \hline
5&1&5&25\\ \hline
6&2&3&36\\ \hline
&&&172\\ \hline
\end{array}\]因此选项 BCD 正确．接下来考虑选项 A．设 $S=161$ 且 $ia_ib_i$（$i=1,2,\cdots,6$）中的最大值为 $x$，由 $27$ 最多有 $1$ 个，因此容易证明 $x\geqslant 30$，而\[161\geqslant x+5\sqrt[5]{\dfrac{(6!)^3}{x}}\geqslant 30+60\sqrt[5]{50},\]矛盾．最后一步不等式由函数的单调性得到．
题目
答案
解析
备注
