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设不等式组 $ {\begin{cases}
x \geqslant 1, \\
x - 2y + 3 \geqslant 0 ,\\
y \geqslant x \\
\end{cases}} $ 所表示的平面区域是 ${\varOmega _1}$，平面区域 ${\varOmega _2}$ 与 ${\varOmega _1}$ 关于直线 $3x - 4y - 9 = 0$ 对称．对于 ${\varOmega _1}$ 中的任意点 $A$ 与 ${\varOmega _2}$ 中的任意点 $B$，$|AB|$ 的最小值等于 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{28}{5}$
B: $ 4 $
C: $\dfrac{12}{5}$
D: $ 2 $
【难度】
【出处】
2010年高考福建卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
可行域是以 $D\left( {1,1} \right)、E\left( {1,2} \right)、C\left( {3,3} \right)$ 为端点的三角形区域．
要求 $ |AB|$ 的最小值，可转化为求 $D、E、F $ 三点到直线 $ 3x-4y-9=0$ 距离最小值的 $ 2 $ 倍．
经分析，$ D\left( {1,1} \right) $ 到直线 $ 3x-4y-9=0$ 的距离\[d = \dfrac{{\left| {3 \times 1 - 4 \times 1 - 9} \right|}}{5} = 2\]最小，故 $ |AB|$ 的最小值是 $ 4 $．
题目 答案 解析 备注
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