注意到\[\begin{split}\cos^5\theta&=\left(\dfrac{{\rm e}^{\theta{\rm i}}+{\rm e}^{-\theta{\rm i}}}2\right)^5\\
&=\dfrac 1{32}\left({\rm e}^{5\theta{\rm i}}+5{\rm e}^{3\theta{\rm i}}+10{\rm e}^{\theta{\rm i}}+10{\rm e}^{-\theta{\rm i}}+5{\rm e}^{-3\theta{\rm i}}+{\rm e}^{-5\theta{\rm i}}\right)\\
&=\dfrac1{16}\left(\cos 5\theta+5\cos 3\theta+10\cos \theta\right).\end{split}\]于是\[\begin{split}\sum_{k=1}^4\cos^5\dfrac{(2k-1)\pi}9&=\dfrac{1}{16}\left[\sum_{k=1}^4\cos\dfrac{5(2k-1)\pi}9+5\sum_{k=1}^4\cos\dfrac{3(2k-1)\pi}9+10\sum_{k=1}^4\cos\dfrac{(2k-1)\pi}9\right]\\
&=\dfrac 12,\end{split}\]其中用到了\[\sum_{k=1}^4\cos\dfrac{(2m-1)(2k-1)\pi}9=\dfrac 12,m\in\mathbb N^{\ast}.\]因此所求代数式的值为\[\dfrac 12-\cos^5\dfrac{3\pi}9=\dfrac {15}{32}.\]