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已知圆 $O$ 的半径为 $ 1 $，$ PA $、$ PB $ 为该圆的两条切线，$ A $、$ B $ 为两切点，那么 $\overrightarrow {PA} \cdot \overrightarrow {PB} $ 的最小值为 \((\qquad)\)
A: $ - 4 + \sqrt 2 $
B: $ - 3 + \sqrt 2 $
C: $ - 4 + 2\sqrt 2 $
D: $ - 3 + 2\sqrt 2 $
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
设 $ \angle OPA = \angle OPB = \theta$，则\[\begin{split}\overrightarrow {PA} \cdot \overrightarrow {PB} &= \left( \dfrac 1{\tan \theta}\right)^2 \cdot \cos {2\theta} \\&= \dfrac {\left(1-\sin ^2 \theta \right) \cdot \left(1-2\sin ^2 \theta\right)}{\sin ^2 \theta}\\&=2\sin ^2 \theta + \dfrac 1{\sin ^2 \theta} -3\\&\geqslant 2\sqrt 2 -3,\end{split} \]等号当且仅当 $ \sin \theta = \sqrt[4] {\dfrac 12} $ 时取得．因此所求最小值为 $ -3 + 2 \sqrt 2$．
题目 答案 解析 备注
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