如图，在半径为 $ r $ 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设 ${S_n}$ 为前 $ n $ 个圆的面积之和，则 $\lim \limits_{n \to \infty } {S_n}=$ \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
2010年高考湖北卷（理）
【标注】
【答案】
C
【解析】
第一个圆的半径是 $ r $，第二个圆的半径为 $\dfrac{{\sqrt {\text{3}} }}{{\text{2}}}r$，第三个圆的半径为 ${\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}r$，$ \cdots $，第 $ n $ 个圆的半径为 $\left(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\right)^{n - 1}r$，则其半径依次组成以 $ r $ 为首项，以 $\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$ 为公比的等比数列，从而其面积是以 $\pi {r^2}$\[\]为首项，以 $\dfrac{3}{4}$ 为公比的等比数列，故 $ \lim \limits_{n \to \infty } {S_n} = \lim \limits_{n \to \infty } \dfrac{{\pi {r^2}\left[1 - {({\dfrac{3}{4}})^n}\right]}}{{1 - \dfrac{3}{4}}} = 4\pi {r^2}$．
题目
答案
解析
备注
