若 $ x_{0} $ 是方程 ${\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} = {x^{\frac{1}{3}}}$ 的解，则 $ x_{0} $ 属于区间 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年高考上海卷（理）
【标注】
【答案】
C
【解析】
设函数 $f(x)=( \dfrac{1}{2})^x- {x^{\frac{1}{3}}}$，结合各选项有：
$ f(0)=1>0 $，
由幂函数的性质，得 $f( \dfrac{1}{3})={\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}}- {\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{1}{3}}} >0$，
由指数函数的性质，得 $f(\dfrac{1}{2} )= {\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}} - {\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}} <0$，
因此，根据函数零点的意义知，$ x_{0} $ 属于的区间为 $( \dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2}) $．
$ f(0)=1>0 $，
由幂函数的性质，得 $f( \dfrac{1}{3})={\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}}- {\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{1}{3}}} >0$，
由指数函数的性质，得 $f(\dfrac{1}{2} )= {\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}} - {\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}} <0$，
因此，根据函数零点的意义知，$ x_{0} $ 属于的区间为 $( \dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2}) $．
题目
答案
解析
备注
