查看数据源：599165ba2bfec200011deb9f
平面上 $ O$，$A$，$B $ 三点不共线，设 $\overrightarrow { OA } = \overrightarrow a $，$ \overrightarrow {OB} = \overrightarrow b$，则 $ \triangle OAB $ 的面积等于 \((\qquad)\)
A: $\sqrt {{\left|{\overrightarrow a}\right|}^2 {\left|{\overrightarrow b}\right|}^2 - \left(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \right)^2 } $
B: $\sqrt {{\left|{\overrightarrow a}\right|}^2 {\left|{\overrightarrow b}\right|}^2 + \left(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \right)^2 } $
C: $\dfrac 1 2 \sqrt {{\left|{\overrightarrow a}\right|}^2 {\left|{\overrightarrow b}\right|}^2 - \left(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \right)^2 } $
D: $\dfrac 1 2 \sqrt {{\left|{\overrightarrow a}\right|}^2 {\left|{\overrightarrow b}\right|}^2 + \left(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \right)^2 } $
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
三角形的面积 $ S=\dfrac {1}{ 2} \left|\overrightarrow a \right| \left|\overrightarrow b \right|\sin \langle \overrightarrow a,\overrightarrow b \rangle $，而\[\begin{split} &\dfrac 1 2 \sqrt{ \left|\overrightarrow a \right|^2 \left|\overrightarrow b \right|^2-\left( \overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right)^2} \\=&\dfrac 1 2 \sqrt{ \left|\overrightarrow a \right|^2 \left|\overrightarrow b \right|^2-\left(\left|\overrightarrow a \right| \left|\overrightarrow b \right|\right)^2\cos^2\langle \overrightarrow a,\overrightarrow b\rangle} \\ =&\dfrac 1 2\left|\overrightarrow a \right| \left|\overrightarrow b \right|\sqrt{1-\cos ^2\langle \overrightarrow a,\overrightarrow b \rangle} \\ =&\dfrac 1 2\left|\overrightarrow a \right| \left|\overrightarrow b \right|\sin\langle \overrightarrow a,\overrightarrow b \rangle.\end{split}\]
题目 答案 解析 备注
0.117160s