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已知点 $ P $ 在曲线 $y= \dfrac{4}{{{{\mathrm{e}}^x} + 1}}$ 上，$ \alpha $ 为曲线在点 $ P $ 处的切线的倾斜角，则 $ \alpha $ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left[0, \dfrac{\mathrm \pi }{4} \right)$
B: $\left[\dfrac{{\mathrm \pi } }{4},\dfrac{\mathrm \pi }{2}\right)$
C: $\left(\dfrac{{\mathrm \pi } }{2},\dfrac{{3{\mathrm \pi } }}{4}\right]$
D: $\left[\dfrac{{3{\mathrm \pi } }}{4},{\mathrm \pi }\right)$
【难度】
【出处】
2010年高考辽宁卷（理）
【标注】
【答案】
D
【解析】
$y'=-\dfrac {4\mathrm e^x}{\left(\mathrm e^x+1\right)^2}=-4\cdot \dfrac{1}{\mathrm e^x+\dfrac{1}{\mathrm e^x}+2}\in\left[-1,0\right)$，即 $\tan \alpha \in \left[-1,0\right)$，故 $\alpha \in \left[\dfrac{3 \mathrm \pi}{4}, \mathrm \pi\right)$．
其他解法：
当 $x \to + \infty $ 时，函数 $y = \dfrac{4}{{{{\mathrm{e}}^x} + 1}}$ 单调递减趋于 $0$，渐近线为 $x$ 轴；
于是 $\alpha $ 可以无限趋于 ${\mathrm{\mathrm \pi }}$，排除A、B、C；选D．
题目 答案 解析 备注
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