有四根长都为 $ 2 $ 的直铁条，若再选两根长都为 $ a $ 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 $ a $ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
由四条长为 $2$ 和两条长为 $a$ 的线段构成的三棱锥 $V-ABC$ 可分两种情况．
① 当三条长为 $2$ 的线段作底面 $ABC$ 时，长为 $2$ 的线段 $VA$ 在 $BC$ 的垂直平分面内旋转，极限情况是 $V_1,V_2$ 在底面 $ABC$ 上，如图1，$V_1V_2$ 平分线段 $BC$．
观察图1可知，若要构成三棱锥，则需\[V_2B<VB<V_1B.\]此时临界条件为 $V_1B^2=V_1A^2+AB^2-2V_1A\cdot AB\cos 150^\circ$ 和 $V_2B^2=V_2A^2+AB^2-2V_2A \cdot AB \cos 30^\circ$，得\[\sqrt 6-\sqrt 2<VB<\sqrt 6+\sqrt 2.\]② 当两条长为 $2$ 与一条长为 $a$ 的线段作底面时，设 $AB=BC=VA=VC=2$，$AC=VB=a$，如图2，
取 $AC$ 中点 $E$，则\[BE=VE=\sqrt{4-\dfrac{a^2}{4}}.\]由三角形性质，得 $VE+EB>VB$，即 $2\sqrt{4-\dfrac{a^2}{4}}>a$，解得 $a^2<8$，又 $a>0$，所以 $0<a<2\sqrt{2}$．
综上所述，$a$ 的取值范围为 $\left(0,\sqrt 6+\sqrt 2\right)$．
① 当三条长为 $2$ 的线段作底面 $ABC$ 时，长为 $2$ 的线段 $VA$ 在 $BC$ 的垂直平分面内旋转，极限情况是 $V_1,V_2$ 在底面 $ABC$ 上，如图1，$V_1V_2$ 平分线段 $BC$．
观察图1可知，若要构成三棱锥，则需\[V_2B<VB<V_1B.\]此时临界条件为 $V_1B^2=V_1A^2+AB^2-2V_1A\cdot AB\cos 150^\circ$ 和 $V_2B^2=V_2A^2+AB^2-2V_2A \cdot AB \cos 30^\circ$，得\[\sqrt 6-\sqrt 2<VB<\sqrt 6+\sqrt 2.\]② 当两条长为 $2$ 与一条长为 $a$ 的线段作底面时，设 $AB=BC=VA=VC=2$，$AC=VB=a$，如图2，取 $AC$ 中点 $E$，则\[BE=VE=\sqrt{4-\dfrac{a^2}{4}}.\]由三角形性质，得 $VE+EB>VB$，即 $2\sqrt{4-\dfrac{a^2}{4}}>a$，解得 $a^2<8$，又 $a>0$，所以 $0<a<2\sqrt{2}$．综上所述，$a$ 的取值范围为 $\left(0,\sqrt 6+\sqrt 2\right)$．
题目
答案
解析
备注
