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在以下四个数中，最大的是 \((\qquad)\)
A: $\ln\sqrt{2}$
B: $\dfrac{1}{e}$
C: $\dfrac{\ln\pi}{\pi}$
D: $\dfrac{\sqrt{10}\ln10}{20}$
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    函数与方程
    >
    函数基本性质
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的单调性
【答案】
B
【解析】
考虑函数 $f(x)=\dfrac{\ln{x}}{x}$，则四个选项分别是 $f(2)$、$f(e)$、$f(\pi)$、$f(\sqrt{10})$．由于 $f^\prime(x)=\dfrac{1-\ln{x}}{x^{2}}$，可见 $f(x)$ 在 $(0,e)$ 上单调递增，在 $(e,+\infty)$ 上单调递增减。所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最大值为 $f(e)$．
题目 答案 解析 备注
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