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正方体 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 中，$B{B_1}$ 与平面 $AC{D_1}$ 所成角的余弦值为 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{\sqrt 2 }{3}$
B: $\dfrac{\sqrt 3 }{3}$
C: $\dfrac{2}{3}$
D: $\dfrac{\sqrt 6 }{3}$
【难度】
【出处】
2010年高考大纲全国I卷（理）
【标注】
【答案】
D
【解析】
$B{B_1}$ 与平面 $AC{D_1}$ 所成角等于 $D{D_1}$ 与平面 $AC{D_1}$ 所成角，在三棱锥 $D - AC{D_1}$ 中，由三条侧棱两两垂直得，点 $ D $ 在底面 $AC{D_1}$ 内的射影为等边三角形 $AC{D_1}$ 的垂心，即中心 $ H $，则 $\angle D{D_1}H$ 为 $D{D_1}$ 与平面 $AC{D_1}$ 所成角．设正方体棱长为 $ a $，则 $\cos \angle D{D_1}H = \dfrac{{\dfrac{\sqrt 6 }{3}a}}{a} = \dfrac{\sqrt 6 }{3}$．
题目 答案 解析 备注
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