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已知函数 $f(x)$ 满足：$f(1)=\dfrac{1}{4},4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y\in\mathbf R)$，则 $f(2019)=$  \((\qquad)\) ．
A: $\dfrac{1}{2}$
B: $-\dfrac{1}{2}$
C: $\dfrac{1}{4}$
D: $-\dfrac{1}{4}$
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
  • 数学竞赛
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    函数与方程
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    函数的图象与性质
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    函数的周期性
【答案】
B
【解析】
取 $x=1,y=0$，得 $f(0)=\dfrac{1}{2}$；取 $x=1,y=1$，得 $4f^2(1)=f(2)+f(0)$，故 $f(2)=-\dfrac{1}{4}$；取 $x=2,y=1$，得 $4f(1)f(2)=f(3)+f(1)$，故 $f(3)=-\dfrac{1}{2}$；取 $x=n,y=1$，有 $f(n)=f(n+1)+f(n-1)$，同理 $f(n+1)=f(n+2)+f(n)$，联立得 $f(n+2)=-f(n-1)$，故 $f(n+6)=f(n)$．所以周期为 $6$，故 $f(2019)=f(336\times6+3)=f(3)=-\dfrac{1}{2}$．
题目 答案 解析 备注
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