已知椭圆 ${C_1}: \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left(a>b>0\right)$ 与双曲线 ${C_2}: {x^2} - \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$ 有公共的焦点，${C_2}$ 的一条渐近线与以 ${C_1}$ 的长轴为直径的圆相交于 $A$，$B$ 两点，若 ${C_1}$ 恰好将线段 $AB$ 三等分，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
由双曲线 ${x^2} - \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$ 知渐近线方程为 $y = \pm 2x$，
又∵椭圆与双曲线有公共焦点，$\therefore$ $a^2=b^2+5,$
∴椭圆方程可化为 ${b^2}{x^2} + \left( {{b^2} + 5} \right){y^2} = \left( {{b^2} + 5} \right){b^2}$，
联立直线 $y = \pm 2x$ 与椭圆方程消 $y$ 得，${x^2} = \dfrac{{\left( {{b^2} + 5} \right){b^2}}}{{5{b^2} + 20}}$，
又∵ ${C_1}$ 将线段 $AB$ 三等分，
∴ $\sqrt {1 + {2^2}} \times 2\sqrt {\dfrac{{\left( {{b^2} + 5} \right){b^2}}}{{5{b^2} + 20}}} = \dfrac{{2a}}{3}$，
解之得 ${b^2} = \dfrac{1}{2}.$
又∵椭圆与双曲线有公共焦点，$\therefore$ $a^2=b^2+5,$
∴椭圆方程可化为 ${b^2}{x^2} + \left( {{b^2} + 5} \right){y^2} = \left( {{b^2} + 5} \right){b^2}$，
联立直线 $y = \pm 2x$ 与椭圆方程消 $y$ 得，${x^2} = \dfrac{{\left( {{b^2} + 5} \right){b^2}}}{{5{b^2} + 20}}$，
又∵ ${C_1}$ 将线段 $AB$ 三等分，
∴ $\sqrt {1 + {2^2}} \times 2\sqrt {\dfrac{{\left( {{b^2} + 5} \right){b^2}}}{{5{b^2} + 20}}} = \dfrac{{2a}}{3}$，
解之得 ${b^2} = \dfrac{1}{2}.$
题目
答案
解析
备注
