已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列，${S_n}$ 是它的前 $ n $ 项和，若 ${a_2}{{\cdot}}{a_3}=2{a_1}$，且 ${a_4}$ 与 $2{a_7}$ 的等差中项为 $\dfrac{5}{4}$，则 $ S_{5} =$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年高考广东卷（理）
【标注】
【答案】
C
【解析】
${a_2} \cdot {a_3} = {a_1}q \cdot {a_1}{q^2} = 2{a_1}$，${a_1}{q^3} = 2$，即 ${a_4} = 2$．
又 ${a_4}$ 与 $2{a_7}$ 的等差中项为 $\dfrac{5}{4}$，即 ${a_4} + 2{a_7} = \dfrac{5}{2}$，得 ${a_7} = \dfrac{1}{4}$．
所以 $q = \dfrac{1}{2}$，${a_1} = 16$．所以 ${S_5} = \dfrac{{16\left(1 - \dfrac{1}{{{2^5}}}\right)}}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = 31$．
又 ${a_4}$ 与 $2{a_7}$ 的等差中项为 $\dfrac{5}{4}$，即 ${a_4} + 2{a_7} = \dfrac{5}{2}$，得 ${a_7} = \dfrac{1}{4}$．
所以 $q = \dfrac{1}{2}$，${a_1} = 16$．所以 ${S_5} = \dfrac{{16\left(1 - \dfrac{1}{{{2^5}}}\right)}}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = 31$．
题目
答案
解析
备注
