设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 $a$，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年高考新课标全国卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
如图，
设球心为 $ O $，则 $ OD=\dfrac a2 $，$AD=\dfrac{\sqrt 3}{3} a $．
在直角三角形 $ OAD $ 中，球的半径 $ r $ 满足\[r^2=\left(\dfrac {\sqrt 3}{3} a\right)^2+\left(\dfrac 12a\right)^2=\dfrac 7{12}a^2,\]因此该球的表面积\[S=4\mathrm \pi r^2=4\mathrm \pi \cdot \dfrac 7{12}a^2 = \dfrac 73\mathrm \pi a^2.\]
设球心为 $ O $，则 $ OD=\dfrac a2 $，$AD=\dfrac{\sqrt 3}{3} a $．在直角三角形 $ OAD $ 中，球的半径 $ r $ 满足\[r^2=\left(\dfrac {\sqrt 3}{3} a\right)^2+\left(\dfrac 12a\right)^2=\dfrac 7{12}a^2,\]因此该球的表面积\[S=4\mathrm \pi r^2=4\mathrm \pi \cdot \dfrac 7{12}a^2 = \dfrac 73\mathrm \pi a^2.\]
题目
答案
解析
备注
