已知双曲线 $E$ 的中心为原点，$F\left(3,0\right)$ 是 $E$ 的焦点，过 $ F $ 的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $ A,B $ 两点，且 $ AB $ 的中点为 $N\left( - 12, - 15\right)$，则 $E$ 的方程式为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年高考新课标全国卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
设 $A\left({x_1},{y_1}\right),B\left({x_2},{y_2}\right)$，双曲线方程为 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$．因为 $ AB $ 过 $ F,N$，所以斜率 ${k_{AB}} = 1$．
由 $\dfrac{x_1^2}{a^2} - \dfrac{y_1^2}{b^2} = 1,\dfrac{x_2^2}{a^2} - \dfrac{y_2^2}{b^2} = 1$，两式作差得 $\dfrac{{\left({x_1} - {x_2}\right)\left({x_1} + {x_2}\right)}}{a^2} - \dfrac{{\left({y_1} - {y_2}\right)\left({y_1} + {y_2}\right)}}{b^2} = 0$，变形得 $\dfrac {b^2}{a^2}\dfrac {x_1+x_2}{y_1+y_2}=\dfrac {y_1-y_2}{x_1-x_2}=k_{AB}=1$，即 $\dfrac 45\dfrac {b^2}{a^2}=1$，所以 $4{b^2} = 5{a^2}$．又因为 ${a^2} + {b^2} = 9$，所以 ${a^2} = 4$，${b^2} = 5$．
由 $\dfrac{x_1^2}{a^2} - \dfrac{y_1^2}{b^2} = 1,\dfrac{x_2^2}{a^2} - \dfrac{y_2^2}{b^2} = 1$，两式作差得 $\dfrac{{\left({x_1} - {x_2}\right)\left({x_1} + {x_2}\right)}}{a^2} - \dfrac{{\left({y_1} - {y_2}\right)\left({y_1} + {y_2}\right)}}{b^2} = 0$，变形得 $\dfrac {b^2}{a^2}\dfrac {x_1+x_2}{y_1+y_2}=\dfrac {y_1-y_2}{x_1-x_2}=k_{AB}=1$，即 $\dfrac 45\dfrac {b^2}{a^2}=1$，所以 $4{b^2} = 5{a^2}$．又因为 ${a^2} + {b^2} = 9$，所以 ${a^2} = 4$，${b^2} = 5$．
题目
答案
解析
备注
