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设 $x>0,y>0,z>0$，满足 $x+y=xy,x+y+z=xyz$，则 $z$ 的取值范围是 \((\qquad)\) ．
A: $\left(0,\sqrt{3}\right]$
B: $\left(1,\sqrt{3}\right]$
C: $\left(0,\dfrac{4}{3}\right]$
D: $\left(1,\dfrac{4}{3}\right]$
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
  • 数学竞赛
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    函数与方程
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    函数的最值和值域
【答案】
D
【解析】
由已知 $y=\dfrac{x}{x-1}$，所以 $z=\dfrac{x+y}{xy-1}=\dfrac{x+\dfrac{x}{x-1}}{\dfrac{x^2}{x-1}-1}=\dfrac{x^2}{x^2-x+1}=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}$．因为 $x>1$，即 $0<\dfrac{1}{x}<1$，所以 $\dfrac{3}{4}\leqslant 1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}<1$，故 $1<z\leqslant \dfrac{4}{3}$．
题目 答案 解析 备注
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