已知 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是首项为 $ 1 $ 的等比数列，${S_n}$ 是 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $ n $ 项和，且 $9{S_3} = {S_6}$，则数列 $\left\{ {\dfrac{1}{a_n}} \right\}$ 的前 $ 5 $ 项和为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年高考天津卷（理）
【标注】
【答案】
C
【解析】
因为 $9{S_3} = {S_6}$，$q \ne 1$，所以\[9\cdot\dfrac{{1 - {q^3}}}{1 - q} = \dfrac{{1 - {q^6}}}{1 - q},\]即 $1 + {q^3} = 9$，解得 $q = 2$，由等比数列的性质知 $\left\{ {\dfrac{1}{a_n}} \right\}$ 是以 $\dfrac{1}{a_1} = 1$ 为首项，$\dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{2}$ 为公比的等比数列，则其前 $ 5 $ 项和为\[\dfrac{{1 - {{\left(\dfrac{1}{2}\right)}^5}}}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{31}{16}.\]
题目
答案
解析
备注
