设 $S_n,T_n$ 分别是等差数列 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和，对任意正整数 $n$，都有 $\dfrac{S_n}{T_n}=\dfrac{2n+6}{n+1}$．若 $\dfrac{a_m}{b_m}$ 为质数，则正整数 $m$ 的值为 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
由条件可设 $S_n=kn(2n+6),T_n=kn(n+1)$，则 $m=1$ 时，$\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{S_1}{T_1}=\dfrac{8}{2}=4$，不满足题意，舍去．当 $m\geqslant 2$ 时，$\dfrac{a_m}{b_m}=\dfrac{S_m-S_{m-1}}{T_m-T_{m-1}}=\dfrac{4m+4}{2m}=2+\dfrac{2}{m}$，于是仅在 $m=2$ 时，$\dfrac{a_m}{b_m}=3$ 为质数．所以，所求的正整数 $m=2$．
题目
答案
解析
备注
