设 ${A_1}$，${A_2}$，${A_3}$，${A_4}$ 是平面上给定的 $ 4 $ 个不同点，则使 $\overrightarrow {M{A_1}} + \overrightarrow {M{A_2}} + \overrightarrow {M{A_3}} + \overrightarrow {M{A_4}} = \overrightarrow 0 $ 成立的点 $M$ 的个数为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年高考上海卷（文）
【标注】
【答案】
B
【解析】
首先，使 $\overrightarrow {M{A_1}} + \overrightarrow {M{A_2}} + \overrightarrow {M{A_3}} + \overrightarrow {M{A_4}} = \overrightarrow 0 $ 成立的点 $M$ 是存在的．
例如在向量 $\overrightarrow {{A_1}{A_4}} $ 上取三等分点 ${A_2}$，${A_3}$，则 ${A_1}{A_4}$ 的中点 $D$ 就是使 $\overrightarrow {M{A_1}} + \overrightarrow {M{A_2}} + \overrightarrow {M{A_3}} + \overrightarrow {M{A_4}} = \overrightarrow 0 $ 成立的点 $M$．
下面再证明点 $M$ 是唯一的．
假设除点 $M$ 之外，还有点 $N$ 满足要求，则
$\overrightarrow {M{A_1}} + \overrightarrow {M{A_2}} + \overrightarrow {M{A_3}} + \overrightarrow {M{A_4}} = \overrightarrow 0 $，$ \quad \cdots \cdots ① $
$\overrightarrow {N{A_1}} + \overrightarrow {N{A_2}} + \overrightarrow {N{A_3}} + \overrightarrow {N{A_4}} = \overrightarrow 0 $，$ \quad \cdots \cdots ② $
$ ② $ 化为 $\overrightarrow {{A_1}N} + \overrightarrow {{A_2}N} + \overrightarrow {{A_3}N} + \overrightarrow {{A_4}N} = \overrightarrow 0 $，$ \quad \cdots \cdots ③ $
$ ① + ③ $ 得 $4\overrightarrow {MN} = \overrightarrow 0$，于是，点 $M$ 与点 $N$ 重合，与假设矛盾．所以点 $M$ 是唯一的．
例如在向量 $\overrightarrow {{A_1}{A_4}} $ 上取三等分点 ${A_2}$，${A_3}$，则 ${A_1}{A_4}$ 的中点 $D$ 就是使 $\overrightarrow {M{A_1}} + \overrightarrow {M{A_2}} + \overrightarrow {M{A_3}} + \overrightarrow {M{A_4}} = \overrightarrow 0 $ 成立的点 $M$．
下面再证明点 $M$ 是唯一的．
假设除点 $M$ 之外，还有点 $N$ 满足要求，则
$\overrightarrow {M{A_1}} + \overrightarrow {M{A_2}} + \overrightarrow {M{A_3}} + \overrightarrow {M{A_4}} = \overrightarrow 0 $，$ \quad \cdots \cdots ① $
$\overrightarrow {N{A_1}} + \overrightarrow {N{A_2}} + \overrightarrow {N{A_3}} + \overrightarrow {N{A_4}} = \overrightarrow 0 $，$ \quad \cdots \cdots ② $
$ ② $ 化为 $\overrightarrow {{A_1}N} + \overrightarrow {{A_2}N} + \overrightarrow {{A_3}N} + \overrightarrow {{A_4}N} = \overrightarrow 0 $，$ \quad \cdots \cdots ③ $
$ ① + ③ $ 得 $4\overrightarrow {MN} = \overrightarrow 0$，于是，点 $M$ 与点 $N$ 重合，与假设矛盾．所以点 $M$ 是唯一的．
题目
答案
解析
备注
