依题意得\[\begin{split}\dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{b} &= \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{b}} \right)\left( {a + b} \right) \\&= \dfrac{1}{2}\left[ {5 + \left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{4a}{b}} \right)} \right] \\&\geqslant \dfrac{1}{2}\left( {5 + 2\sqrt {\dfrac{b}{a} \times \dfrac{4a}{b}} } \right) = \dfrac{9}{2},\end{split}\]当且仅当\[\begin{cases}a + b = 2, \\
\dfrac{b}{a} = \dfrac{4a}{b}, \\
a > 0,b > 0 ,\\
\end{cases}\]即 $a = \dfrac{2}{3}$，$b = \dfrac{4}{3}$ 时取等号，所以 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{b}$ 的最小值是 $\dfrac{9}{2}$．