记 $f\left( x \right) = m{x^2} - kx + 2$，其中 $m > 0$，则有\[ { \begin{cases}
m > 0, \\
f\left( 1 \right) = m - k + 2 > 0, \\
0 < \dfrac{k}{2m} < 1, \\
\Delta = {k^2} - 8m > 0, \\
\end{cases} } \quad \cdots \cdots ① \]即\[ { \begin{cases}m > 0,k > 0, \\
k < m + 2, \\
k < 2m, \\
k > 2\sqrt {2m} . \\
\end{cases} } \]通过验证发现当 $m = 1,2$ 均不存在满足不等式 $ ① $ 的整数 $k$．
当 $m > 2$ 时，显然有 $m + 2 < 2m$，此时不等式组 $ ① $ 可化为\[ { \begin{cases}
m > 0,k > 0, \\
m + 2 > k > 2\sqrt {2m} , \\
\end{cases} }\]又 $m$，$k$ 均为整数，故可进一步化简为\[{ \begin{cases}
m > 0,k > 0, \\
m + 1 \geqslant k > 2\sqrt {2m} , \\
\end{cases} } \quad \cdots \cdots ② \]要使 $ ② $ 成立，必有 $m + 1 > 2\sqrt {2m} $；又 $m > 2$，因此有 $m > 3 + 2\sqrt 2 $．
显然 $5 < 3 + 2\sqrt 2 < 6$，于是有 $m \geqslant 6$．
当 $m = 6$ 时，由 $ ② $ 式得 $k = 7$，此时方程\[m{x^2} - kx + 2 = 6{x^2} - 7x + 2 = 0\]的根是 $\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3}$，满足题意．
又当 $m$ 进一步增大时，满足 $ ② $ 式的 $k$ 不会减小，所以 $m + k$ 取最小值时，必须 $m$ 也取最小值，也就是说，当 $m = 6$，$k = 7$ 时，$m + k$ 取最小值 $ 13 $．