设两圆 ${C_1}$、${C_2}$ 都和两坐标轴相切，且都过点 $\left(4,1\right)$，则两圆心的距离 $\left| {{C_1}{C_2}} \right|=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年高考大纲全国卷（文）
【标注】
【答案】
C
【解析】
由题意知：圆心在直线 $y = x$ 上并且在第一象限，设圆心坐标为 $\left(a,a\right)$ $\left(a > 0\right)$，则 $a = \sqrt {{{\left(a - 4\right)}^2} + {{\left(a - 1\right)}^2}} $，即 ${a^2} - 10a + 17 = 0$，所以，由两点间的距离公式可求出 $\left| {{C_1}{C_2}} \right| = \sqrt {2\left[{{\left({a_1} + {a_2}\right)}^2} - 4{a_1}{a_2}\right]} = \sqrt {2 \times \left(100 - 4 \times 17\right)} = 8$．
题目
答案
解析
备注
