若向量 $\overrightarrow a = \left( {1,2} \right)$，$\overrightarrow b = \left( {1, - 1} \right)$，则 $2\overrightarrow a + \overrightarrow b $ 与 $\overrightarrow a - \overrightarrow b $ 的夹角等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年高考湖北卷（文）
【标注】
【答案】
C
【解析】
$2\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {3,3} \right)$，$\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {0,3} \right)$，
则 $\cos \left\langle {2\overrightarrow a + \overrightarrow b ,\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right\rangle = \dfrac{{\left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) \cdot \left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)}}{{\left| {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|}} = \dfrac{9}{9\sqrt 2 } = \dfrac{\sqrt 2 }{2}$，
于是所求夹角为 $\dfrac{\mathrm \pi }{4}.$
则 $\cos \left\langle {2\overrightarrow a + \overrightarrow b ,\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right\rangle = \dfrac{{\left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) \cdot \left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)}}{{\left| {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|}} = \dfrac{9}{9\sqrt 2 } = \dfrac{\sqrt 2 }{2}$，
于是所求夹角为 $\dfrac{\mathrm \pi }{4}.$
题目
答案
解析
备注
