设 $ a_n={\dfrac{1}{n}}\sin {\dfrac{n{\mathrm \pi} }{25}} $，$ S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n $．在 $ S_1$，$S_2$，$\cdots $，$S_{100 }$ 中，正数的个数是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年高考上海卷（理）
【标注】
【答案】
D
【解析】
因为 $ f\left(n\right)=\sin \dfrac{n{\mathrm \pi} }{25} $ 的周期 $ T=50 $，由正弦函数性质可知，\[ a_1,a_2,\cdots,a_{24}>0,a_{25}=0,a_{26},a_{27},\cdots,a_{49}<0,a_{50}=0, \]又 $ g\left(n\right)=\dfrac{1}{n}$ 单调递减，所以\[ |a_{26}|<a_1,|a_{27}|<a_2,\cdots,|a_{49}|<a_{24} .\]从而可判断 $ S_1$，$S_2$，$\cdots $，$S_{100 }$ 全为正数．
题目
答案
解析
备注
