设 $ \triangle ABC $ 的内角 $ A$，$B$，$C $ 所对的边分别为 $ a$，$b$，$c $．若三边的长为连续的三个正整数，且 $ A>B>C$，$3b=20 a\cos A $，则 $ \sin A:\sin B:\sin C $ 为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
因为 $ a$，$b$，$c $ 为连续的三个正整数，且 $ A>B>C $，可设\[ a=c+2 , b=c+1. \quad \cdots \cdots ① \]又因为 $ 3b=20a\cos A $，由余弦定理可知 $ \cos A={\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}} $，则\[ 3b=20a\cdot {\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}} . \quad \cdots \cdots ② \]联立 ①②，化简可得 $ 7c^2-13c-60=0 $，解得 $ c=4 $ 或 $ c=-{\dfrac{15}{7}} $（舍去），则 $ a=6$，$b=5 $．又由正弦定理可得 $ \sin A∶\sin B∶\sin C=a∶b∶c=6∶5∶4 $．
题目
答案
解析
备注
