若函数 $f\left( x \right) = x + \dfrac{1}{x - 2}\left( {x > 2} \right)$ 在 $x = a$ 处取最小值，则 $a = $ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年高考重庆卷（文）
【标注】
【答案】
C
【解析】
$f\left( x \right) = x + \dfrac{1}{x - 2} = x - 2 + \dfrac{1}{x - 2} + 2$．
$\because$ $x > 2$，$\therefore$ $x - 2 > 0$．
$\therefore$ $f\left( x \right) = x - 2 + \dfrac{1}{x - 2} + 2 \geqslant 2\sqrt {\left( {x - 2} \right) \cdot \dfrac{1}{x - 2}} + 2 = 4$．
当且仅当 $x - 2 = \dfrac{1}{x - 2}$，即 $x = 3$ 时，" $ = $ "成立．
又 $f\left( x \right)$ 在 $x = a$ 处取最小值．所以 $a = 3$．
$\because$ $x > 2$，$\therefore$ $x - 2 > 0$．
$\therefore$ $f\left( x \right) = x - 2 + \dfrac{1}{x - 2} + 2 \geqslant 2\sqrt {\left( {x - 2} \right) \cdot \dfrac{1}{x - 2}} + 2 = 4$．
当且仅当 $x - 2 = \dfrac{1}{x - 2}$，即 $x = 3$ 时，" $ = $ "成立．
又 $f\left( x \right)$ 在 $x = a$ 处取最小值．所以 $a = 3$．
题目
答案
解析
备注
