由 $\begin{cases}x = -\dfrac{a^2}{c}, \\y =- \dfrac{b}{a}x\end{cases}$ 得 $A\left( { - \dfrac{a^2}{c},\dfrac{ab}{c}} \right)$．同理，可得 $B\left( { - \dfrac{a^2}{c}, - \dfrac{ab}{c}} \right)$．又左焦点 $F\left( { - c,0} \right)$，$\therefore \overrightarrow {FA} = \left( {\dfrac{b^2}{c},\dfrac{ab}{c}} \right)$，$\overrightarrow {FB} = \left( {\dfrac{b^2}{c}, - \dfrac{ab}{c}} \right)$．$\because$ 点 $F$ 在以 $AB$ 为直径的圆内，$\therefore \overrightarrow {FA} \cdot \overrightarrow {FB} < 0$，即 ${\left( {\dfrac{b^2}{c}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{ab}{c}} \right)^2} < 0$，$\therefore {b^4} < {a^2}{b^2}$，$\therefore {b^2} < {a^2}$，即 ${c^2} - {a^2} < {a^2}$，$\therefore {c^2} < 2{a^2}$，即 ${e^2} < 2$，$\therefore e < \sqrt 2 $．又 $\because e > 1$，$\therefore 1 < e < \sqrt 2 $．
其他解法：由 $ \begin{cases}x = - \dfrac{a^2}{c}, \\y = - \dfrac{b}{a}x,\end{cases} $ 得 $A\left( { - \dfrac{a^2}{c},\dfrac{ab}{c}} \right)$．同理可得 $B\left( { - \dfrac{a^2}{c}, - \dfrac{ab}{c}} \right)$．$\because$ 点 $F\left( { - c,0} \right)$ 在以 $AB$ 为直径的圆内，$\therefore$ 在左焦点 $F$ 到圆心的距离小于半径长，即 $c - \dfrac{a^2}{c} < \dfrac{ab}{c}$，即 $a > b$．$\therefore e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a} = \sqrt {1 + \dfrac{b^2}{a^2}} < \sqrt 2 $．又 $\because e > 1$，$\therefore 1 < e < \sqrt 2 $．