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过抛物线 $ y^2=4x $ 的焦点 $ F $ 的直线交该抛物线于 $ A$，$B $ 两点，$ O $ 为坐标原点．若 $ |AF|=3 $，则 $ \triangle AOB $ 的面积为 \((\qquad)\)
A: $ {\dfrac{{\sqrt{2}}}{2}} $
B: $ {\sqrt{2}} $
C: $ {\dfrac{3{\sqrt{2}}}{2}} $
D: $ 2{\sqrt{2}} $
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
不妨设点 $A$ 在第一象限，因为 $|AF|=3$，所以 $A$ 到准线 $x=-1$ 的距离为 $3$，于是 $A$ 的横坐标为 $2$，代入抛物线方程求得 $A(2,2\sqrt 2)$．于是直线 $AF$ 方程为 $y=2\sqrt 2(x-1)$，将其和抛物线联立，求得 $B \left (\dfrac 12,-\sqrt 2\right)$．所以三角形 $AOB$ 的面积为\[\dfrac 1 2 |OF||2\sqrt 2+\sqrt 2|=\dfrac{3{\sqrt{2}}}{2}.\]
题目 答案 解析 备注
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