在集合 $\left\{ 1,2,3,4,5\right\} $ 中任取一个偶数 $a$ 和一个奇数 $b$ 构成以原点为起点的向量 $\overrightarrow \alpha = \left(a,b\right)$，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为 $n$，其中面积等于 $2$ 的平行四边形的个数为 $m$，则 $\dfrac{m}{n} = $ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年高考四川卷（文）
【标注】
【答案】
B
【解析】
首先计算出 $n=6$，即共可组成 $6$ 个向量，它们都不共线，所以可组成 $15$ 个平行四边形；
以向量 $\left(a_1,b_1\right)$ 与 $\left(a_2,b_2\right)$ 为邻边的平行四边形的面积 $S=|a_1b_2-a_2b_1|$（见后面的推导），故满足面积为 $2$ 的向量组有 $\left(2,1\right),\left(4,1\right)$；$\left(2,1\right),\left(4,3\right)$；$\left(2,3\right),\left(4,5\right)$．故 $m=3$．
面积公式推导：以向量 $\overrightarrow a=\left(m,n\right)$，$\overrightarrow b=\left(x,y\right)$ 为邻边的平行四边形的面积\[\begin{split}S&=\left|\overrightarrow a\right|\cdot \left|\overrightarrow b\right|\sin \theta=\left|\overrightarrow a\right|\cdot \left|\overrightarrow b\right|\sqrt{1-\cos ^2\theta}\\&=\left|\overrightarrow a\right|\cdot \left|\overrightarrow b\right|\sqrt{1-\dfrac{\left(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right)^2}{\left|\overrightarrow a\right|^2\cdot \left|\overrightarrow b\right|^2}}\\&=\sqrt{\left|\overrightarrow a\right|^2\cdot \left|\overrightarrow b\right|^2-\left(\left|\overrightarrow a\right|\cdot \left|\overrightarrow b\right|\right)^2}\\&=\sqrt{\left(m^2+n^2\right)\left(x^2+y^2\right)-\left(mx+ny\right)^2}\\&=\left|my-nx\right|.\end{split}\]其中 $\theta= \langle \overrightarrow a,\overrightarrow b \rangle$．
以向量 $\left(a_1,b_1\right)$ 与 $\left(a_2,b_2\right)$ 为邻边的平行四边形的面积 $S=|a_1b_2-a_2b_1|$（见后面的推导），故满足面积为 $2$ 的向量组有 $\left(2,1\right),\left(4,1\right)$；$\left(2,1\right),\left(4,3\right)$；$\left(2,3\right),\left(4,5\right)$．故 $m=3$．
面积公式推导：以向量 $\overrightarrow a=\left(m,n\right)$，$\overrightarrow b=\left(x,y\right)$ 为邻边的平行四边形的面积\[\begin{split}S&=\left|\overrightarrow a\right|\cdot \left|\overrightarrow b\right|\sin \theta=\left|\overrightarrow a\right|\cdot \left|\overrightarrow b\right|\sqrt{1-\cos ^2\theta}\\&=\left|\overrightarrow a\right|\cdot \left|\overrightarrow b\right|\sqrt{1-\dfrac{\left(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right)^2}{\left|\overrightarrow a\right|^2\cdot \left|\overrightarrow b\right|^2}}\\&=\sqrt{\left|\overrightarrow a\right|^2\cdot \left|\overrightarrow b\right|^2-\left(\left|\overrightarrow a\right|\cdot \left|\overrightarrow b\right|\right)^2}\\&=\sqrt{\left(m^2+n^2\right)\left(x^2+y^2\right)-\left(mx+ny\right)^2}\\&=\left|my-nx\right|.\end{split}\]其中 $\theta= \langle \overrightarrow a,\overrightarrow b \rangle$．
题目
答案
解析
备注
