直接赋值判断出一定不成立的命题即可．设 $x=\left[x\right]+\left\{x\right\}$，即 $\left[x\right]$ 为 $x$ 的整数部分，$\left\{x\right\}$ 为 $x$ 的小数部分．当 $0\leqslant \left\{x\right\}< 0.5$ 时，$\left[x\right]+\left[x+\dfrac 12\right]=2\left[x\right]$，$\left[2x\right]=\left[2\left[x\right]+2\left\{x\right\}\right]=2\left[x\right]$，所以 $\left[x\right] + \left[ {x + \dfrac{1}{2}} \right] = \left[2x\right]$；当 $0.5\leqslant x<1$ 时，$\left[x\right] + \left[ {x + \dfrac{1}{2}} \right] = \left[x\right]+\left[x\right]+1$，$\left[2x\right]=\left[2\left[x\right]+2\left\{x\right\}\right]=2\left[x\right]+1$，$\left[x\right] + \left[ {x + \dfrac{1}{2}} \right] = \left[2x\right]$．所以 D 正确．
选项 ${ A }$，取 $x = 1.5$，则 $\left[ - x\right] = \left[ - 1.5\right] = - 2$，$ - \left[x\right] = - \left[1.5\right] = - 1$，显然 $\left[ - x\right] \ne - \left[x\right]$．
选项 ${ B }$，取 $x = 1.5$，则 $\left[ {x + \dfrac{1}{2}} \right] = \left[2\right] = 2 \ne \left[1.5\right] = 1$．
选项 ${ C }$，取 $x = 1.5$，则 $\left[2x\right] = \left[3\right] = 3$，$2\left[x\right] = 2\left[1.5\right] = 2$，显然 $\left[2x\right] \ne 2\left[x\right]$．