设函数 $f\left( x \right) = \sqrt 3 \sin \dfrac{{{\mathrm \pi} x}}{m}$，若存在 $f\left( x \right)$ 的极值点 ${x_0}$ 满足 $x_0^2 +{\left[{f\left({x_0}\right)}\right]^2}<{m^2}$，则 $m$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考新课标Ⅱ卷（理）
【标注】
【答案】
C
【解析】
根据题意，有$$\dfrac{{\mathrm \pi} x_0}m=k{\mathrm \pi}+\dfrac{\mathrm \pi} 2,k\in{\mathbb Z},$$即$$x_0=\left(k+\dfrac 12\right)m,$$进而 $f(x_0)=\pm \sqrt 3$．
从而可得存在整数 $k$，使得 $\left[\left(k+\dfrac 12\right)m\right]^2+(\pm \sqrt 3)^2<m^2$，也即$$\exists k\in{\mathbb Z},-\dfrac{3}{m^2}>\left(k+\dfrac 12\right)^2-1,$$即$$-\dfrac{3}{m^2}>\min_{k\in{\mathbb Z}}\left\{\left(k+\dfrac 12\right)^2-1\right\}=-\dfrac 34,$$解得 $m\in(-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )$．
从而可得存在整数 $k$，使得 $\left[\left(k+\dfrac 12\right)m\right]^2+(\pm \sqrt 3)^2<m^2$，也即$$\exists k\in{\mathbb Z},-\dfrac{3}{m^2}>\left(k+\dfrac 12\right)^2-1,$$即$$-\dfrac{3}{m^2}>\min_{k\in{\mathbb Z}}\left\{\left(k+\dfrac 12\right)^2-1\right\}=-\dfrac 34,$$解得 $m\in(-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )$．
题目
答案
解析
备注
