我们需要将“点 $P$ 到两个焦点的距离之比为 $2:1$”这一信息进行转化．
方案一到两个定点的距离之比为 $2:1$ 的点的轨迹为圆，因此原问题就是看椭圆（或双曲线）与两个圆是否存在交点的问题．
事实上，圆的方程并不简单，暂不考虑这种方案．
方案二对于一个椭圆 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），设其左、右焦点分别为 $F_1$、$F_2$，则
“点 $P$ 到两个焦点的距离之比为 $2:1$”可以转化为“$|PF_1|=\dfrac 43a$ 或 $|PF_1|=\dfrac 23a$”．
而 $PF_1$ 的范围为 $[a-c,a+c]$，于是只需要 $\dfrac 23a \geqslant a-c$，即 $\dfrac ca \geqslant \dfrac
13$．
类似的考虑双曲线，可得 $\dfrac ca \leqslant 3$．
考虑选项，A、B、C、D的离心率分别为 $\dfrac 14$、$\dfrac 15$、$4$、$1$．
由此可判断出只有选项D符合要求．
方案三方案二有另一种处理方式：考虑点 $P$ 到两个焦点的距离之比的取值范围（较大的比较小的）．
对于椭圆，该比值的范围为 $\left[1,\dfrac {a+c}{a-c}\right]$（和为定值时，越远离分子对应焦点，比值越大）；
对于双曲线，该比值的范围为 $\left(1,\dfrac {c+a}{c-a}\right]$．（差为定值时，越远离焦点，比值越小）
考虑选项，A、B、C、D对应的范围为 $\left[1,\dfrac {4}{3}\right]$、$\left[1,\dfrac {3}{2}\right]$、$\left(1,\dfrac {5}{3}\right]$、$\left(1,\dfrac {\sqrt 2+1}{\sqrt 2-1}\right]$ 即 $(1,3+2\sqrt 2]$．
由此可判断出只有选项D符合要求．