已知函数 $f\left(x\right) = \sin \left( {2x + \varphi } \right)$，其中 $\varphi $ 为实数，若 $f\left(x\right) \leqslant \left| {f\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{6}} \right)} \right|$ 对 $x \in {\mathbb{R}}$ 恒成立，且 $f\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{2}} \right) > f\left( {\mathrm \pi } \right)$，则 $f\left( x \right)$ 的单调递增区间是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年高考安徽卷（理）
【标注】
【答案】
C
【解析】
$\because $ $f\left(x\right) \leqslant \left| {f\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{6}} \right)} \right|$ 对 $x \in {\mathbb{R}}$ 恒成立，
$\therefore \left| {f\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{6}} \right)} \right|$ 为函数 $f\left( x \right)$ 的最大值，即 $\left| {\sin \left( {\dfrac{\mathrm \pi }{3} + \varphi } \right)} \right| = 1$，
$\therefore$ $\dfrac{\mathrm \pi }{3} + \varphi = k{\mathrm \pi } + \dfrac{\mathrm \pi }{2}$ $\left(k\in {\mathbb{Z}} \right)$，$\varphi = k{\mathrm \pi } + \dfrac{\mathrm \pi }{6}$ $\left(k \in {\mathbb{Z}}\right)$．
由 $f\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{2}} \right) > f\left({\mathrm \pi }\right)$，可知 $\sin \left({\mathrm \pi } + \varphi \right) > \sin \left(2{\mathrm \pi } + \varphi \right)$，即 $\sin \varphi < 0$，
$\therefore$ $\varphi = \left(2k + 1\right){\mathrm \pi } + \dfrac{\mathrm \pi }{6}$ $\left(k \in {\mathbb{Z}}\right)$，
代入 $f\left(x\right) = \sin \left(2x + \varphi \right)$，得 $f\left(x\right) = - \sin \left( {2x + \dfrac{\mathrm \pi }{6}} \right)$，
由 $2k{\mathrm \pi } + \dfrac{\mathrm \pi }{2}⩽2x + \dfrac{\mathrm \pi }{6}⩽2k{\mathrm \pi } + \dfrac{{3{\mathrm \pi }}}{2}$ $\left(k \in {\mathbb{Z}}\right)$，
解得 $k{\mathrm \pi } + \dfrac{\mathrm \pi }{6}⩽x⩽k{\mathrm \pi } + \dfrac{{2{\mathrm \pi }}}{3}$ $\left(k \in {\mathbb{Z}}\right)$．
$\therefore \left| {f\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{6}} \right)} \right|$ 为函数 $f\left( x \right)$ 的最大值，即 $\left| {\sin \left( {\dfrac{\mathrm \pi }{3} + \varphi } \right)} \right| = 1$，
$\therefore$ $\dfrac{\mathrm \pi }{3} + \varphi = k{\mathrm \pi } + \dfrac{\mathrm \pi }{2}$ $\left(k\in {\mathbb{Z}} \right)$，$\varphi = k{\mathrm \pi } + \dfrac{\mathrm \pi }{6}$ $\left(k \in {\mathbb{Z}}\right)$．
由 $f\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{2}} \right) > f\left({\mathrm \pi }\right)$，可知 $\sin \left({\mathrm \pi } + \varphi \right) > \sin \left(2{\mathrm \pi } + \varphi \right)$，即 $\sin \varphi < 0$，
$\therefore$ $\varphi = \left(2k + 1\right){\mathrm \pi } + \dfrac{\mathrm \pi }{6}$ $\left(k \in {\mathbb{Z}}\right)$，
代入 $f\left(x\right) = \sin \left(2x + \varphi \right)$，得 $f\left(x\right) = - \sin \left( {2x + \dfrac{\mathrm \pi }{6}} \right)$，
由 $2k{\mathrm \pi } + \dfrac{\mathrm \pi }{2}⩽2x + \dfrac{\mathrm \pi }{6}⩽2k{\mathrm \pi } + \dfrac{{3{\mathrm \pi }}}{2}$ $\left(k \in {\mathbb{Z}}\right)$，
解得 $k{\mathrm \pi } + \dfrac{\mathrm \pi }{6}⩽x⩽k{\mathrm \pi } + \dfrac{{2{\mathrm \pi }}}{3}$ $\left(k \in {\mathbb{Z}}\right)$．
题目
答案
解析
备注
