设 $m,n \in {\mathbb{R}}$，若直线 $\left(m + 1\right)x{ + }\left(n + 1\right)y - 2{ = }0$ 与圆 $\left(x - 1\right)^2 + \left(y - 1\right)^2=1$ 相切，则 $m{ + }n$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年高考天津卷（理）
【标注】
【答案】
D
【解析】
$\because$ 直线 $\left(m + 1\right)x{ + }\left(n + 1\right)y - 2{ = }0$ 与圆 $\left(x - 1\right)^2 + \left(y - 1\right)^2=1$ 相切，
$\therefore$ 圆心 $\left( 1,1 \right)$ 到直线的距离为\[d=\dfrac {{\left|{\left(m+1\right)+\left(n+1\right)-2}\right|}}{\sqrt {\left(m+1\right)^2+\left(n+1\right)^2}}=1 ,\]所以\[mn = m + n + 1 \leqslant {\left( {\dfrac{m + n}{2}} \right)^2},\]设 $t = m + n$，则 $\dfrac{1}{4}{t^2} \geqslant t{ + }1$，解得\[t \in \left( - \infty ,2 - 2\sqrt 2 \right] \cup \left[2 + 2\sqrt 2 ,+ \infty\right).\]
$\therefore$ 圆心 $\left( 1,1 \right)$ 到直线的距离为\[d=\dfrac {{\left|{\left(m+1\right)+\left(n+1\right)-2}\right|}}{\sqrt {\left(m+1\right)^2+\left(n+1\right)^2}}=1 ,\]所以\[mn = m + n + 1 \leqslant {\left( {\dfrac{m + n}{2}} \right)^2},\]设 $t = m + n$，则 $\dfrac{1}{4}{t^2} \geqslant t{ + }1$，解得\[t \in \left( - \infty ,2 - 2\sqrt 2 \right] \cup \left[2 + 2\sqrt 2 ,+ \infty\right).\]
题目
答案
解析
备注
