设函数 $f\left(x\right) = \dfrac{1}{x}$，$g\left(x\right) = a{x^2} + bx$ $\left(a,b \in {\mathbb{R}},a \ne 0\right)$，若 $y = f\left(x\right)$ 的图象与 $y = g\left(x\right)$ 图象有且仅有两个不同的公共点 $A\left({x_1},{y_1}\right)$，$B\left({x_2},{y_2}\right)$，则下列判断正确的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
由 $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ 得 $ax^3+bx^2-1=0$．
因为两个函数图象有且仅有两个不同的公共点，所以不妨设 $ax^3+bx^2-1=a\left(x-x_1\right)^2\left(x-x_2\right)$．
展开看对应项系数得 $ax_1^2x_2=1,a\left(2x_1x_2+x_1^2\right)=0$，故 $x_1,x_2$ 异号，$a,x_2$ 同号，且 $x_1+x_2=-x_2$．
于是有\[y_1+y_2=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}.\]从而有 $x_1+x_2$ 与 $y_1+y_2$ 异号，排除C，D；
于是只需要考虑 $a<0$，此时，$x_2<0$，$x_1+x_2>0$，故B正确．
其他方法：
在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，因为 $g\left(x\right)$ 的图象恒过原点，
所以当 $a < 0$ 时，要想满足条件，必与左支相交，与右支相切，如图．
结合 $f\left(x\right)$ 与 $g\left(x\right)$ 的对称性知，$x_1+x_2>0$，$y_1+y_2<0$（比如作点 $A$ 关于原点的对称点，知该点一定在 $B$ 的左上方）．同理当 $a > 0$ 时，则有 ${x_1} + {x_2} < 0,{y_1} + {y_2} > 0$．
因为两个函数图象有且仅有两个不同的公共点，所以不妨设 $ax^3+bx^2-1=a\left(x-x_1\right)^2\left(x-x_2\right)$．
展开看对应项系数得 $ax_1^2x_2=1,a\left(2x_1x_2+x_1^2\right)=0$，故 $x_1,x_2$ 异号，$a,x_2$ 同号，且 $x_1+x_2=-x_2$．
于是有\[y_1+y_2=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}.\]从而有 $x_1+x_2$ 与 $y_1+y_2$ 异号，排除C，D；
于是只需要考虑 $a<0$，此时，$x_2<0$，$x_1+x_2>0$，故B正确．
其他方法：
在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，因为 $g\left(x\right)$ 的图象恒过原点，
所以当 $a < 0$ 时，要想满足条件，必与左支相交，与右支相切，如图．
结合 $f\left(x\right)$ 与 $g\left(x\right)$ 的对称性知，$x_1+x_2>0$，$y_1+y_2<0$（比如作点 $A$ 关于原点的对称点，知该点一定在 $B$ 的左上方）．同理当 $a > 0$ 时，则有 ${x_1} + {x_2} < 0,{y_1} + {y_2} > 0$．
题目
答案
解析
备注
