已知定义在 $\left[ {0, + \infty } \right)$ 上的函数 $f\left(x\right)$ 满足 $f\left(x\right) = 3f\left(x + 2\right)$，当 $x \in \left[ {0,2} \right)$ 时，$f\left(x\right) = - {x^2} + 2x$．设 $f\left(x\right)$ 在 $\left[ {2n - 2,2n} \right)$ 上的最大值为 ${a_n}\left(n \in {\mathbb{N}}^*\right)$，且 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，则 $\lim \limits_{n \to \infty } {S_n} = $ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年高考四川卷（理）
【标注】
【答案】
D
【解析】
由题意 $f\left(x + 2\right) = \dfrac{1}{3}f\left(x\right)$，说明函数向右平移 $ 2 $ 个单位，最大值变为原来的 $ \dfrac13 $，$a_1=f\left( 1 \right) = 1$，$ q=\dfrac{1}{3} $．
由此可得 ${a_n} = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{n - 1}}$，$\therefore {S_n} = \dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)}^n}}}{{1 - \dfrac{1}{3}}}$，
则 $\lim\limits_{n \to \infty } {S_n} = \lim \limits_{n \to \infty } \dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)}^n}}}{{1 - \dfrac{1}{3}}} = \dfrac{1}{{1 - \dfrac{1}{3}}} = \dfrac{3}{2}$．
由此可得 ${a_n} = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{n - 1}}$，$\therefore {S_n} = \dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)}^n}}}{{1 - \dfrac{1}{3}}}$，
则 $\lim\limits_{n \to \infty } {S_n} = \lim \limits_{n \to \infty } \dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)}^n}}}{{1 - \dfrac{1}{3}}} = \dfrac{1}{{1 - \dfrac{1}{3}}} = \dfrac{3}{2}$．
题目
答案
解析
备注
