设 ${A_1}$，$ {A_2} $，$ {A_3} $，${A_4}$ 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 $\overrightarrow {{A_1}{A_3}} = \lambda \overrightarrow {{A_1}{A_2}} \left(\lambda \in {\mathbb{R}}\right)$，$\overrightarrow {{A_1}{A_4}} = \mu \overrightarrow {{A_1}{A_2}} \left(\mu \in {\mathbb{R}}\right)$，且 $\dfrac{1}{\lambda } + \dfrac{1}{\mu } = 2$，则称 ${A_3}$，${A_4}$ 调和分割 ${A_1}$，${A_2}$．已知平面上的点 $C$，$D$ 调和分割点 $A$，$B$，则下面说法正确的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
根据调和分割的定义可得 $\overrightarrow {AC} = \lambda \overrightarrow {AB}$，$\overrightarrow {AD} = \mu \overrightarrow {AB}$，且 $\dfrac{1}{\lambda } + \dfrac{1}{\mu } = 2$．
依次判断各选项，A 选项，若 $C$ 为 $AB$ 的中点，则 $\lambda = \dfrac{1}{2}$，又 $\dfrac{1}{\lambda } + \dfrac{1}{\mu } = 2$，可知不存在 $\mu $ 值使得等式成立，故 A 错；
同理 B 选项也为假命题；
对于 C 选项，若 $C$，$D$ 均在线段 $AB$ 上，则 $0 < \lambda < 1$，$0 < \mu < 1$，故 $\dfrac{1}{\lambda } + \dfrac{1}{\mu } > 2$，这与已知定义不符，故命题错误；
若 $C$，$D$ 同时在线段 $AB$ 的延长线上，则 $\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}$，$\lambda>1$，$\overrightarrow{AD}=\mu\overrightarrow{AB}$，$\mu>1$，此时 $\dfrac{1}{\lambda}+\dfrac{1}{\mu}<2$，这与已知定义矛盾，故 $C$，$D$ 不可能同时在线段 $AB$ 的延长线上．
依次判断各选项，A 选项，若 $C$ 为 $AB$ 的中点，则 $\lambda = \dfrac{1}{2}$，又 $\dfrac{1}{\lambda } + \dfrac{1}{\mu } = 2$，可知不存在 $\mu $ 值使得等式成立，故 A 错；
同理 B 选项也为假命题；
对于 C 选项，若 $C$，$D$ 均在线段 $AB$ 上，则 $0 < \lambda < 1$，$0 < \mu < 1$，故 $\dfrac{1}{\lambda } + \dfrac{1}{\mu } > 2$，这与已知定义不符，故命题错误；
若 $C$，$D$ 同时在线段 $AB$ 的延长线上，则 $\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}$，$\lambda>1$，$\overrightarrow{AD}=\mu\overrightarrow{AB}$，$\mu>1$，此时 $\dfrac{1}{\lambda}+\dfrac{1}{\mu}<2$，这与已知定义矛盾，故 $C$，$D$ 不可能同时在线段 $AB$ 的延长线上．
题目
答案
解析
备注
