$\because$ $ f'\left(x\right)=\mathrm e^x+1>1>0 $，且 $ f'\left(x\right) $ 单调递增，$\therefore$ $ f\left(x\right) $ 单调递增，且图象越来越陡，在任一点处的切线斜率恒大于 $ 1$．其图象如图所示：设 $ A$，$ B $，$ C $ 三点的横坐标分别为 $ x_1 $，$ x_2 $，$ x_3 $，$D $ 为 $ AB$ 延长线上 一点，且横坐标为 $ x_3 $．
因为在任一点处的切线斜率恒大于 $ 1$，所以 $ k_{BC}>k_{AB}>1$，所以 $ \angle{CBD}<90^{\circ} $，故 $ \angle{ABC}$ 为钝角，即 $\triangle ABC$ 一定为钝角三角形．
又 $ x_1 $，$ x_2 $，$ x_3 $ 成等差数列，所以 $ AB=BD $，而 $ BC\ne BD$，所以 $ AB\ne BC $，故 $\triangle ABC$ 不可能是等腰三角形．
其他解法：$\because$ $ f'\left(x\right)=\mathrm e^x+1>0$，$\therefore$ $ f\left(x\right) $ 在 $ {\mathbb{R}}$ 上单调递增．
设 $ A,B,C $ 三点的横坐标分别为 $ x-d $，$ x $，$ x+d $（$ d>0 $），则\[\overrightarrow{BA}=\left(-d,\mathrm e^{x-d}-\mathrm e^x-d\right) ,\\ \overrightarrow{BC}=\left(d,\mathrm e^{x+d}-\mathrm e^x+d\right) ,\]故可计算得\[ \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=-2d^2+\mathrm e^{2x}\left[2-\left(\mathrm e^{-d}+\mathrm e^d\right)\right]+d\left(\mathrm e^{x-d}-\mathrm e^{x+d}\right).\]$\because$ $ \mathrm e^{-d}+\mathrm e^d\geqslant 2 $，当且仅当 $ \mathrm e^{-d}=\mathrm e^d $ 时取等号，此时 $ d=0 $．又 $\because$ $ d>0 $，$\therefore$ $ \mathrm e^{-d}+\mathrm e^d> 2 $．
$\therefore$ $ \mathrm e^{2x}\left[2-\left(\mathrm e^{-d}+\mathrm e^d\right)\right]<0 $．
$\because$ $h\left(x\right)=\mathrm e^x $ 在 $ \mathbb R $ 上单调递增，$\therefore$ $\mathrm e^{x-d}-\mathrm e^{x+d}<0 $，$\therefore$ $ \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}<0 $，$\therefore$ $ B $ 为钝角．
即 $\triangle ABC$ 为钝角三角形，① 正确．
$\because$ $|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{d^2+\left(\mathrm e^{x-d}-\mathrm e^x-d\right)^2} $，$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{d^2+\left(\mathrm e^{x+d}-\mathrm e^x+d\right)^2} $，$\mathrm e^{x-d}-\mathrm e^x-d< \mathrm e^{x+d}-\mathrm e^x+d $，$\therefore$ $ |\overrightarrow{BA}|\ne |\overrightarrow{BC}| $，$\therefore$ $\triangle ABC$ 不可能是等腰三角形，④ 正确．