设 $A\left( {0,0} \right)$，$B\left( {4,0} \right)$，$C\left( {t + 4,4} \right)$，$D\left( {t,4} \right)$ $\left( {t \in {\mathbb{R}}} \right)$．记 $N\left( t \right)$ 为平行四边形 $ABCD$ 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 $N\left( t \right)$ 的值域为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
当 $ t=0 $ 时，平行四边形 $ ABCD $ 的四个顶点是 $ A\left(0,0\right),B\left(4,0\right),C\left(4,4\right),
D\left(0,4\right) $，此时符合条件的点有 $ \left(1,1\right),\left(1,2\right),\left(1,3\right),\left(2,1\right),\left(2,2\right),\left(2,3\right),\left(3,1\right),\left(3,2\right),\left(3,3\right) $，共九个，于是 $ N\left(t\right)=9 $，故选项D不正确；
当 $ t=1 $ 时，平行四边形 $ ABCD $ 的四个顶点是 $ A\left(0,0\right),B\left(4,0\right),C\left(5,4\right),D\left(1,4\right) $，同理，知 $ N\left(t\right)=12 $，故选项A不正确；
当 $ t=2 $ 时，平行四边形 $ ABCD $ 的四个顶点是 $ A\left(0,0\right),B\left(4,0\right),C\left(6,4\right),D\left(2,4\right) $，同理，知 $ N\left(t\right)=11 $，故选项B不正确．
综上，选C．
D\left(0,4\right) $，此时符合条件的点有 $ \left(1,1\right),\left(1,2\right),\left(1,3\right),\left(2,1\right),\left(2,2\right),\left(2,3\right),\left(3,1\right),\left(3,2\right),\left(3,3\right) $，共九个，于是 $ N\left(t\right)=9 $，故选项D不正确；
当 $ t=1 $ 时，平行四边形 $ ABCD $ 的四个顶点是 $ A\left(0,0\right),B\left(4,0\right),C\left(5,4\right),D\left(1,4\right) $，同理，知 $ N\left(t\right)=12 $，故选项A不正确；
当 $ t=2 $ 时，平行四边形 $ ABCD $ 的四个顶点是 $ A\left(0,0\right),B\left(4,0\right),C\left(6,4\right),D\left(2,4\right) $，同理，知 $ N\left(t\right)=11 $，故选项B不正确．
综上，选C．
题目
答案
解析
备注
