设 $ S $ 是整数集 $ {\mathbb{Z}} $ 的非空子集，如果对于 $ \forall a$、$b \in S $，有 $ ab \in S $，则称 $ S $ 关于数的乘法是封闭的．若 $ T$、$V $ 是 $\mathbb Z $ 的两个不相交的非空子集，$ T \cup V =\mathbb Z $．且对于 $ \forall a$、$ b$、$ c \in T $，有 $ abc \in T $，$\forall x$、$y$、$z \in V $，有 $ xyz \in V $．则下列结论恒成立的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
由于 $T \cup V = {\mathbb{Z}}$，则整数 $1$ 一定在 $T$，$V$ 两个集合中的一个中．不妨设 $1 \in T$，则 $\forall a,b \in T$，由于 $a$，$b$，$1 \in T$，则 $a \cdot b \cdot 1 \in T$，即 $ab \in T$，从而 $T$ 对乘法封闭；
另一方面，当 $T = \left\{ {非负整数} \right\}$，$T = \left\{ {负整数} \right\}$ 时，$T$ 关于乘法封闭，$V$ 关于乘法不封闭，故D不对；当 $T = \left\{ {奇数} \right\}$，$V = \left\{ {偶数} \right\}$ 时，$T$，$V$ 显然关于乘法都是封闭的，故B和C不对．
另一方面，当 $T = \left\{ {非负整数} \right\}$，$T = \left\{ {负整数} \right\}$ 时，$T$ 关于乘法封闭，$V$ 关于乘法不封闭，故D不对；当 $T = \left\{ {奇数} \right\}$，$V = \left\{ {偶数} \right\}$ 时，$T$，$V$ 显然关于乘法都是封闭的，故B和C不对．
题目
答案
解析
备注
