若 $a , b \in {\mathbb{R}}$，且 $ab > 0$，则下列不等式中，恒成立的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年高考上海卷（理）
【标注】
【答案】
D
【解析】
因为 ${a^2} + {b^2} \geqslant 2ab$，所以 ${a^2} + {b^2} > 2ab$ 不恒成立；
当 $a < 0,b < 0$ 时，$a + b \geqslant 2\sqrt {ab} $，$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} > \dfrac{2}{{\sqrt {ab} }}$ 不成立；
而当 $ab > 0$ 时，$\dfrac{b}{a} > 0$，$\dfrac{a}{b} > 0$，则\[\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} \geqslant 2\sqrt {\dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{a}{b}} = 2.\]
当 $a < 0,b < 0$ 时，$a + b \geqslant 2\sqrt {ab} $，$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} > \dfrac{2}{{\sqrt {ab} }}$ 不成立；
而当 $ab > 0$ 时，$\dfrac{b}{a} > 0$，$\dfrac{a}{b} > 0$，则\[\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} \geqslant 2\sqrt {\dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{a}{b}} = 2.\]
题目
答案
解析
备注
