${\left( {1 + 3x} \right)^n}$（其中 $n \in {\mathbb{N}}$ 且 $n \geqslant 6$）的展开式中 ${x^5}$ 与 ${x^6}$ 的系数相等，则 $n = $ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年高考重庆卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
${\left( {1 + 3x} \right)^n}$ 的展开式的通项是 ${T_{r + 1}} = {{\mathrm{C}}_n^r \cdot {1^{n - r}} \cdot \left({3x}\right)^r} = {\mathrm{C}}_n^r \cdot {3^r} \cdot {x^r}$，于是依题意有 $\mathrm C_n^5 \cdot {3^5}={\mathrm{C}}_n^6\cdot3^6$，即\[\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {n - 4} \right)}}{5!} \cdot3^5 = 3 \cdot \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {n - 4} \right)\left( {n - 5} \right)}}{6!}\cdot3^5\left(n\geqslant 6\right),\]由此解得 $n = 7$．
题目
答案
解析
备注
