在整数集 $\mathbb{Z}$ 中，被 $5$ 除所得余数为 $k$ 的所有整数组成一个“类”，记为 $\left[ k \right]$，即 $\left[ k \right]=\left\{ 5n+k \left| \right.n\in \mathbb{Z} \right\}$，$k=0, 1, 2, 3,4$．给出如下四个结论：
① $2011\in \left[ 1 \right]$；
② $-3\in \left[ 3 \right]$；
③ $\mathbb{Z}=\left[ 0 \right]\cup \left[ 1 \right]\cup \left[ 2 \right]\cup \left[ 3 \right]\cup \left[ 4 \right]$；
④“整数 $a,b$ 属于同一‘类’”的充要条件是“$a-b\in \left[ 0 \right]$”．
其中，正确结论的个数是 \((\qquad)\)
① $2011\in \left[ 1 \right]$；
② $-3\in \left[ 3 \right]$；
③ $\mathbb{Z}=\left[ 0 \right]\cup \left[ 1 \right]\cup \left[ 2 \right]\cup \left[ 3 \right]\cup \left[ 4 \right]$；
④“整数 $a,b$ 属于同一‘类’”的充要条件是“$a-b\in \left[ 0 \right]$”．
其中，正确结论的个数是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年高考福建卷（文）
【标注】
【答案】
C
【解析】
对于 ①，因为\[2011=2010+1=402\times 5+1\in \left[ 1 \right],\]所以 ① 正确；
对于 ②，因为\[-3=-5+2\in \left[ 2 \right],\]所以 ② 不正确；
对于 ③，任意一个整数被 $ 5 $ 除余数为 $ 0、1、2、3、4 $，所以 ③ 正确；
对于 ④，若整数 $a,b$ 属于同一“类”，则整数 $ a,b $ 被 $ 5 $ 除的余数相同，从而 $ a-b $ 被 $ 5 $ 除的余数为 $ 0 $；
反之，若 $a - b \in \left[ 0 \right]$，可设\[a - b = 5n,n \in {\mathbb{Z}},\]即\[a = b + 5n,n \in {\mathbb{Z}}.\]不妨设\[b = 5m + k,m \in{\mathbb{ Z}},\]则\[a = b + 5n=5m + k+5n=5\left(m+n\right)+k,m,n \in {\mathbb{Z}},\]所以整数 $ a,b $ 属于同一“类”．
综上，整数 $ a,b $ 属于同一“类”的充要条件是“$ a-b\in \left[0\right] $”，即 ④ 正确．
对于 ②，因为\[-3=-5+2\in \left[ 2 \right],\]所以 ② 不正确；
对于 ③，任意一个整数被 $ 5 $ 除余数为 $ 0、1、2、3、4 $，所以 ③ 正确；
对于 ④，若整数 $a,b$ 属于同一“类”，则整数 $ a,b $ 被 $ 5 $ 除的余数相同，从而 $ a-b $ 被 $ 5 $ 除的余数为 $ 0 $；
反之，若 $a - b \in \left[ 0 \right]$，可设\[a - b = 5n,n \in {\mathbb{Z}},\]即\[a = b + 5n,n \in {\mathbb{Z}}.\]不妨设\[b = 5m + k,m \in{\mathbb{ Z}},\]则\[a = b + 5n=5m + k+5n=5\left(m+n\right)+k,m,n \in {\mathbb{Z}},\]所以整数 $ a,b $ 属于同一“类”．
综上，整数 $ a,b $ 属于同一“类”的充要条件是“$ a-b\in \left[0\right] $”，即 ④ 正确．
题目
答案
解析
备注
