设 $ a,b,c\in {\mathbb{R}}_+ $，则" $ abc=1 $ "是" $ {\dfrac{1}{{\sqrt{a}}}}+{\dfrac{1}{{\sqrt{b}}}}+{\dfrac{1}{{\sqrt{c}}}}\leqslant a+b+c $ "的 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年高考湖北卷（文）
【标注】
【答案】
A
【解析】
当 $ abc=1 $ 时，\[ {\dfrac{1}{{\sqrt{a}}}}+{\dfrac{1}{{\sqrt{b}}}}+{\dfrac{1}{{\sqrt{c}}}}={\dfrac{{\sqrt{abc}}}{{\sqrt{a}}}}+{\dfrac{{\sqrt{abc}}}{{\sqrt{b}}}}+{\dfrac{{\sqrt{abc}}}{{\sqrt{c}}}}={\sqrt{ab}}+{\sqrt{bc}}+{\sqrt{ca}}, \]而 $ 2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a)\geqslant 2{\sqrt{ab}}+2{\sqrt{bc}}+2{\sqrt{ca}} $（当且仅当 $ a=b=c=1 $ 时取等号），故\[ {\dfrac{1}{{\sqrt{a}}}}+{\dfrac{1}{{\sqrt{b}}}}+ {\dfrac{1}{{\sqrt{c}}}}={\sqrt{ab}}+{\sqrt{bc}}+{\sqrt{ca}}\leqslant a+b+c, \]所以充分性成立；取 $ a=b=c=4\in {\mathbb{R}}_+ $，显然有 ${\dfrac{1}{{\sqrt{a}}}}+{\dfrac{1}{{\sqrt{b}}}}+{\dfrac{1}{{\sqrt{c}}}}\leqslant a+b+c, $ 但 $ abc\neq 1 $，必要性不成立．
题目
答案
解析
备注
