设 $A_1$，$A_2$，$A_3$，$A_4$ 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 $\overrightarrow{A_1A_3}=\lambda\overrightarrow{A_1A_2}\left(\lambda\in {\mathbb{R}}\right)$，$\overrightarrow{A_1A_4}=\mu\overrightarrow{A_1A_2}\left(\mu\in {\mathbb{R}}\right)$，且 $\dfrac{1}{\lambda}+\dfrac{1}{\mu}=2$，则称 $A_3$，$A_4$ 调和分割 $A_1$，$A_2$，已知点 $C \left(c,0\right)$，$D\left(d,0\right)$（$ c,d \in {\mathbb{R}} $）调和分割点 $A\left(0,0\right)$，$B\left(1,0\right)$，则下面说法正确的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
由调和分割的定义可得 $\overrightarrow {AC} = \lambda \overrightarrow {AB} \Rightarrow \left( {c,0} \right) = \lambda \left( {1,0} \right)$，即 $\lambda = c$；同理 $\overrightarrow {AD} = \mu \overrightarrow {AB} \Rightarrow \left( {d,0} \right) = \mu \left( {1,0} \right)$，即 $d = \mu $．
又 $\dfrac{1}{\lambda } + \dfrac{1}{\mu } = \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d} = 2$，依次判断各选项：
选项 A：若 $C$ 为 $AB$ 的中点，则 $\lambda = \dfrac{1}{2}$，又 $\dfrac{1}{\lambda } + \dfrac{1}{\mu } = \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d} = 2$，可知不存在 $\mu $ 值使得不等式成立，故 A 错；同理B选项也为假命题；对于C选项：若 $C,D$ 均在线段 $AB$ 上，则 $0 < \lambda < 1,0 < \mu < 1$，故 $\dfrac{1}{\lambda } + \dfrac{1}{\mu } > 2$，这与已知定义不符，故命题错误．事实上，如果 $C,D$ 同时在线段 $AB$ 的延长线上，则 $\lambda<0,\mu<0$，$\dfrac{1}{\lambda } + \dfrac{1}{\mu }<0$，与定义不符，故D正确．
又 $\dfrac{1}{\lambda } + \dfrac{1}{\mu } = \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d} = 2$，依次判断各选项：
选项 A：若 $C$ 为 $AB$ 的中点，则 $\lambda = \dfrac{1}{2}$，又 $\dfrac{1}{\lambda } + \dfrac{1}{\mu } = \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d} = 2$，可知不存在 $\mu $ 值使得不等式成立，故 A 错；同理B选项也为假命题；对于C选项：若 $C,D$ 均在线段 $AB$ 上，则 $0 < \lambda < 1,0 < \mu < 1$，故 $\dfrac{1}{\lambda } + \dfrac{1}{\mu } > 2$，这与已知定义不符，故命题错误．事实上，如果 $C,D$ 同时在线段 $AB$ 的延长线上，则 $\lambda<0,\mu<0$，$\dfrac{1}{\lambda } + \dfrac{1}{\mu }<0$，与定义不符，故D正确．
题目
答案
解析
备注
