题目

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对任意两个非零的平面向量 $\overrightarrow \alpha $ 和 $\overrightarrow \beta $，定义 $\overrightarrow \alpha \circ \overrightarrow \beta = \dfrac{\overrightarrow \alpha \cdot \overrightarrow \beta }{\overrightarrow \beta \cdot \overrightarrow \beta }$．若两个非零的平面向量 $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ 满足 $\overrightarrow a $ 与 $\overrightarrow b $ 的夹角 $\theta \in \left( {\dfrac{\mathrm \pi} {4} , \dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right)$，且 $\overrightarrow a \circ \overrightarrow b $ 和 $\overrightarrow b \circ \overrightarrow a $ 都在集合 $ \left\{ {\dfrac{n}{2} \left| \right. n\in {\mathbb{Z}}} \right\}$ 中，则 $\overrightarrow a \circ \overrightarrow b = $ $(\qquad)$

A: $\dfrac{5}{2}$

B: $\dfrac{3}{2}$

C: $1$

D: $\dfrac{1}{2}$

【难度】

【出处】

2012年高考广东卷（文）

【标注】

【答案】

【解析】

因为\[\overrightarrow a \circ \overrightarrow b = \dfrac{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }{\overrightarrow b \cdot \overrightarrow b } = \dfrac{ \left|\overrightarrow a \right|}{ \left|\overrightarrow b \right|}\cos \theta ,\\ \overrightarrow b \circ \overrightarrow a = \dfrac{\overrightarrow b \cdot \overrightarrow a }{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a } = \dfrac{ \left|\overrightarrow b \right |}{ \left|\overrightarrow a \right|}\cos \theta ,\]所以\[\left(\overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{b}\circ\overrightarrow{a}\right)=\cos ^2\theta.\]又因为\[\theta \in \left( {\dfrac{\mathrm \pi} {4}},\dfrac{\mathrm \pi} {2} \right),\]所以\[\cos \theta \in \left(0, {\dfrac{\sqrt 2 }{2} } \right),\]于是\[\left(\overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{b}\circ\overrightarrow{a}\right)=\cos ^2\theta\in\left(0,\dfrac 12\right).\]又 $\overrightarrow a \circ \overrightarrow b $ 和 $\overrightarrow b \circ \overrightarrow a $ 都在集合 $\left\{ {\dfrac{n}{2}\left|\right.n \in {\mathbb{Z}}} \right\}$ 中，
所以有\[\left(\overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{b}\circ\overrightarrow{a}\right)=\dfrac14,\]从而 $\overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\circ\overrightarrow{a}=\dfrac 12$．

题目答案解析

因为\[\overrightarrow a \circ \overrightarrow b = \dfrac{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }{\overrightarrow b \cdot \overrightarrow b } = \dfrac{ \left|\overrightarrow a \right|}{ \left|\overrightarrow b \right|}\cos \theta ,\\ \overrightarrow b \circ \overrightarrow a = \dfrac{\overrightarrow b \cdot \overrightarrow a }{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a } = \dfrac{ \left|\overrightarrow b \right |}{ \left|\overrightarrow a \right|}\cos \theta ,\]所以\[\left(\overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{b}\circ\overrightarrow{a}\right)=\cos ^2\theta.\]又因为\[\theta \in \left( {\dfrac{\mathrm \pi} {4}},\dfrac{\mathrm \pi} {2} \right),\]所以\[\cos \theta \in \left(0, {\dfrac{\sqrt 2 }{2} } \right),\]于是\[\left(\overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{b}\circ\overrightarrow{a}\right)=\cos ^2\theta\in\left(0,\dfrac 12\right).\]又 $\overrightarrow a \circ \overrightarrow b $ 和 $\overrightarrow b \circ \overrightarrow a $ 都在集合 $\left\{ {\dfrac{n}{2}\left|\right.n \in {\mathbb{Z}}} \right\}$ 中，<br/>所以有\[\left(\overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{b}\circ\overrightarrow{a}\right)=\dfrac14,\]从而 $\overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\circ\overrightarrow{a}=\dfrac 12$．