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定义平面向量之间的一种运算" $ \odot $ "如下：对任意的 $\overrightarrow a = \left(m,n\right)$，$\overrightarrow b = \left(p,q\right)$，令 $\overrightarrow a \odot \overrightarrow b = mq - np$．下面说法错误的是 \((\qquad)\)
A: 若 $\overrightarrow a$ 与 $\overrightarrow b$ 共线，则 $\overrightarrow a \odot \overrightarrow b = 0$
B: $\overrightarrow a \odot \overrightarrow b =\overrightarrow b \odot \overrightarrow a$
C: 对任意的 $\lambda \in {\mathbb{R}}$，有 $\left(\lambda \overrightarrow a\right) \odot \overrightarrow b = \lambda \left(\overrightarrow a \odot \overrightarrow b\right)$
D: ${\left(\overrightarrow a \odot \overrightarrow b\right)^2} + {\left(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b\right)^2} = {\left| \overrightarrow a \right|^2}{\left| \overrightarrow b \right|^2}$
【难度】
【出处】
2010年高考山东卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
对于A：根据向量共线条件，$\overrightarrow a$ 与 $\overrightarrow b$ 共线，即为 $mq-np=0$，故正确；
对于B：$\overrightarrow a\odot\overrightarrow b=mq-np$，而 $\overrightarrow b\odot\overrightarrow a=np-mq$，故不正确；
对于C：$\lambda\overrightarrow a=\left(\lambda m,\lambda n\right)$，因此 $\left(\lambda\overrightarrow a\right)\odot\overrightarrow b=\lambda\left(mq-np\right)=\lambda\left(\overrightarrow a\odot\overrightarrow b\right)$，故正确；
对于D：左边计算得 $m^2q^2+n^2p^2+m^2p^2+n^2q^2$，右边计算得 $m^2p^2+m^2q^2+n^2p^2+n^2q^2$，两边相等，故正确．
题目 答案 解析 备注
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