由已知 $ S=\left\{x \left|\right. 0\leqslant x\leqslant 1\right\} $，$ \complement_{\mathbb R}S=\left\{x \left|\right. x<0\lor x>1\right\} $，因为 $S\cup T=\mathbb R$，所以 $ \complement_{\mathbb R}S\subset T $．
显然 $ a=0 $ 时符合．
当 $ a\neq 0 $ 时，令 $ f\left(x\right)=4ax^2-4a\left(1-2a\right)x+1 $，则 $ \begin{cases}a>0,\\\Delta =16a^2\left(1-2a\right)^2-4\times 4a>0,\\f\left(0\right)\geqslant 0,\\f\left(1\right)\geqslant 0,\\0\leqslant \dfrac{4a\left(1-2a\right)}{8a}\leqslant 1,\end{cases} \quad \cdots \cdots \text{ ① }$ 或 $ \begin{cases}a>0,\\\Delta =16a^2\left(1-2a\right)^2-4\times 4a\leqslant 0,\end{cases} \quad \cdots \cdots \text{ ② } $
解 $ \text{ ① } $ 无解，解 $ \text{ ② } $ 得 $ 0<a\leqslant 1 $．综上，$ 0\leqslant a\leqslant 1 $．